Exemples: { y}^{ \prime}+5xy={ e}^{ x} est une équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre. { y}^{ \prime}+5xy=0 est l'équation différentielle homogène associée à la précédente. 2{ y}^{ \prime \prime}-3{ y}^{ \prime}+5y=0 est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants, sans second membre. Exercices équations differentielles . { y}^{ \prime 2}-y=x et { y}^{ \prime \prime}. { y}^{ \prime}-y=0 ne sont pas des équations différentielles linéaires. II- Équation différentielle linéaire du premier ordre 1- Définition Une équation différentielle linéaire du premier ordre est une équation du type: { y}^{ \prime}=a(x)y+b(x) où a et b sont des fonctions définies sur un intervalle ouvert I de R. 2- Solutions d'une équation différentielle linéaire homogène du premier ordre L'ensemble des solutions de l'équation différentielle linéaire homogène du premier ordre { y}^{ \prime}+a(x)y=0 est: f\left( x \right) =C{ e}^{ (-A(x))} où C est une constante réelle et A une primitive de a sur l'intervalle I.
On va donc raisonner suivant le nombre de points où les courbes coupent l'axe horizontal. Toutes les courbes ont des points à tangente horizontale. a deux points à tangente horizon- tale et ne coupe pas l'axe. a quatre points à tangente horizon- tale et coupe trois fois l'axe. a trois points à tangente horizon- tale et coupe deux fois l'axe. On note la fonction de graphe si. On en déduit que n'est pas la dérivée de ou de. Donc et. Les tangentes à sont horizontales en et. est la courbe qui coupe l'axe aux points d'abscisse et, donc a pour courbe représentative, alors. Et pour vérification: Les tangentes à sont horizontales en, et et. La courbe coupe aux points d'abscisse, donc c'est la courbe représentative de. Ce qui donne. Correction de l'exercice 2 sur les primitives: Les primitives sur (puis sur) sont les fonctions où Donc est une solution pariculière de l'équation. Primitives et Equations Différentielles : exercices et corrigés. La solution générale de l'équation est où. 3. La solution générale de l' équation homogène soit est où. Soit si, Pour tout réel, ssi pour tout réel ssi L'ensemble des solutions est l'ensemble des fonctions où Correction de l'exercice 2 sur les équations différentielles est solution sur ssi pour tout, ssi pour tout, ssi il existe tel que pour tout, ssi il existe deux réels et tels que pour tout,.
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Résumé de cours Exercices et corrigés Cours en ligne de Maths en Terminale Entraînez-vous avec les exercices et les corrigés sur les calcul de primitive et d' équation différentielle. Cela vous aidera à obtenir une meilleure moyenne en maths et à vous entraîner efficacement pour les épreuves du baccalauréat. 1. Calcul Primitives Exercice 1: lecture graphique d'une primitive: Soit une fonction dérivable de dérivée continue et une primitive de sur l'intervalle. On a représenté les fonctions, et dans le même repère. Donner les valeurs et telles que est le graphe de, celui de et celui de. Exercice 2: primitive d'une fonction Déterminer les primitives des fonctions suivantes en précisant l'intervalle de définition. 2. Exercices équations différentielles d'ordre 2. Calcul Equation différentielle Exercice 1 Equations différentielles: résoudre une équation Exercice 2 Equations différentielles: trouver la solution Indication: On cherchera une fonction telle que pour tout,. Correction de l'exercice 1 sur les primitives: On utilise la propriété suivante: Si le graphe d'une fonction a une tangente horizontale en, alors.
On pose $y(t)=x(t)/x_p(t)$. Alors la fonction $y'$ est solution d'une équation différentielle du premier ordre. On peut résoudre cette équation différentielle, pour déterminer $y'$, puis $y$ (voir cet exercice).