$v_n={n}/{n(1+{1}/{n})}={1}/{1+{1}/{n}}$. Et par là: $\lim↙{n→+∞}v_n={1}/{1+0}=1$.
- Exercice récurrence suite du billet
Exercice Récurrence Suite Du Billet
\(\mathcal{P}(0)\) est vraie. Hérédité: Soit \(n\in\mathbb{N}\). On a alors
\[0\leqslant u_{n+1} \leqslant u_n\]
En ajoutant 5 à chaque membre, on obtient
\[5\leqslant u_{n+1} +5\leqslant u_n+5\]
On souhaite « appliquer la racine carrée » à cette inégalité. Exercices corrigés de Maths de terminale Spécialité Mathématiques ; Suites: limites et récurrence ; exercice10. La fonction \(x\mapsto \sqrt{x}\) étant croissante, l'appliquer ne changera pas le sens de l'inégalité. On a donc bien
\[ \sqrt{5} \leqslant \sqrt{u_{n+1}+5} \leqslant \sqrt{u_n+5}\]
D'une part, \(\sqrt{5}>0\). D'autre part, \(\sqrt{u_{n+1}+5}=u_{n+2}\) et \(\sqrt{u_{n}+5}=u_{n+1}\). Ainsi
\[0 \leqslant u_{n+2} \leqslant u_{n+1}\]
La proposition \(\mathcal{P}(n+1)\) est donc vraie. Conclusion: \(\mathcal{P}(0)\) est vraie et \(\mathcal{P}\) est héréditaire. Par récurrence, \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).
M M s'appelle alors un majorant de la suite ( u n) \left(u_{n}\right)
On dit que la suite ( u n) \left(u_{n}\right) est minorée par le réel m m si pour tout entier naturel n n: u n ⩾ m u_{n} \geqslant m.
m m s'appelle un minorant de la suite ( u n) \left(u_{n}\right)
Remarque
Si la suite ( u n) \left(u_{n}\right) est majorée (ou minorée), les majorants (ou minorants) ne sont pas uniques. Exercice récurrence suite des. Bien au contraire, si M M est un majorant de la suite ( u n) \left(u_{n}\right), tout réel supérieur à M M est aussi un majorant de la suite ( u n) \left(u_{n}\right)
Soit la suite ( u n) \left(u_{n}\right) définie par:
{ u 0 = 1 u n + 1 = u n 2 + 1 p o u r t o u t n ∈ N \left\{ \begin{matrix} u_{0}=1 \\ u_{n+1} =u_{n}^{2}+1 \end{matrix}\right. \text{pour tout} n \in \mathbb{N}
On vérifie aisément que pour tout n ∈ N n \in \mathbb{N}, u n u_{n} est supérieur ou égal à 1 1 donc la suite ( u n) \left(u_{n}\right) est minorée par 1 1. Par contre cette suite n'est pas majorée (on peut, par exemple, démonter par récurrence que pour tout n ∈ N n \in \mathbb{N} u n > n u_{n} > n.
III - Convergence - Limite
Définition
On dit que la suite ( u n) (u_{n}) converge vers le nombre réel l l (ou admet pour limite le nombre réel l l) si tout intervalle ouvert contenant l l contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.